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Análisis Matemático 66
2025
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.15.
Analizar en que ítems se puede usarse la regla de L'Hopital. Resolver cada límite con el método adecuado.
m) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}}$
m) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}}$
Respuesta
Queremos resolver este límite: $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}}$
Reportar problema
Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", y bueno... aplicamos L'Hopital? Nada nos impide hacerlo, el tema es que, probá de hacerlo y convencete, vas a entrar en un loop infinito donde vas a seguir derivando y la indeterminación "infinito sobre infinito" no se va a ir. Entonces tenemos que recurrir a otra estrategia... infinito sobre infinito te recuerda a algo? Volvamos a nuestra vieja confiable, ¡sacar factor común!
Saco factor común $e^x$:
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{e^{x} (1 - \frac{e^{-x}}{e^x})}$
Simplificando y fijandote que $\frac{e^{-x}}{e^x} = \frac{1}{e^{2x}}$, entonces:
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{1 -\frac{1}{e^{2x}}} = 1 $
Por lo tanto,
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}-e^{-x}} = 1$
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